16. Téridő
Az előző részben kicsit belementünk a relativitáselméletbe. Most ebben a részben kicsit mélyebben belemegyünk majd.
Tulajdonképpen a tér és az idő ugyanannak a dolognak a két nézete. Gondoljunk csak egy pénzérmére. Ha a lapjára merőlegesen nézünk rá, akkor szép kerek. Ha pedig elfordítjuk, akkor már oválisnak látszik, éléről nézve pedig már csak egy vékony vonalnak látszik. Annyira megszoktuk, hogy a mindennapi életben a tárgyak látszólagos alakja változik pusztán attól, hogyha más szögből nézünk rájuk, hogy már fel sem tűnik. Azonban a valóéletben már nem sűrűn tapasztaljuk meg a relativitás hatásait, így furcsának tűnhet, hogy mozgó dolgok összemennek.
A kor tudósai sokat foglalkoztak azzal, hogy egy jó modellt összerakjanak a relativitáselmélet modellezéséhez. És aztán találtak egyet. A dolog lényege az, hogy a teret és az időt összevonják egy koordináta-rendszerbe. Amelyet ezentúl téridőnek neveznek. Így van benne 3 tér dimenzió és a negyedik az idő. Tehát ez 4 dimenziós. Mivel mi teljesen ahhoz szoktunk, hogy a dolgok 3 dimenziósak, ezért a 4 dimenziót elképzelni nem tudjuk, de számolni tudunk vele, mivel a matematika működik továbbra is. Ez azt is jelenti, hogy a megértéshez jó, ha van egy kis képzelőerőnk, és tudjuk általánosítani a dolgokat négy dimenzióra, ha kell. Ábrázolni a dolgot papíron úgy szokták, hogy csak 1 tér és 1 idő tengely van benne, tehát a mozgások csak egyetlen egy irányba: jobbra vagy balra történhetnek. A függőleges tengely pedig az idő, amely felfelé telik. Az alábbi ábrán mutatok egy példát, hogy ezt hogyan kell elképzelni:
A téridőnek van egy időtengelye, amely alapján végigkövetkező egy vagy több tárgy életútja, története.
Az idő felfelé telik. Ez azt jelenti, hogy az álló dolgok egy felfelé mutató függőleges csíkot húznak. Ezt a vonalat úgy nevezik, hogy az adott tárgy világvonala. Mint a képen a munkahely, a bolt és otthon. Ezek nem mennek semerre. Viszont látható, hogy az ember megy reggel otthonról munkába, majd boltba aztán haza.
Tehát a téridő grafikonról leolvasható egy rendszer története. Amelyik tárgy áll, az ahhoz tartozó vonal függőleges. Amely tárgy mozog, az ahhoz tartozó vonal ferde. Ahol pedig egy tárgy éppen gyorsul, az ahhoz tartozó vonal azon helyen éppen görbül, hiszen ha a sebessége változik, akkor a ferdesége is változik neki.
A téridőben már az időnek is hossza van. Ahogy ez látható a fenti grafikonból is. De milyen beosztás lenne az ideális? Az az egység, amely a leghasznosabb lenne az a fénymásodperc. Tehát az a távolság, amelyet a fény 1 másodperc alatt tesz meg. Ez kb. 300 ezer kilométer. Tehát 1 másodpercnek feleljen meg 300 ezer kilométer az időtengelyen.
Ennek a választásnak az lesz a következménye, hogy az 1 másodperc átváltható lesz 300 ezer km-re. Mennyi lenne a fénysebesség ez esetben?
$$ 300000 {\mathrm{km} \over \mathrm{s}} = \\ 300000 {\mathrm{km} \over 300000 \mathrm{km}} = \\ {\mathrm{km} \over \mathrm{km}} = \\ 1 $$
Az a fénysebesség, a $c$ simán 1 lesz. És ez nagyban leegyszerűsíti szinte az összes képletünket, amit a relativitásról tudunk, ugyanis ki lehet belőlük vágni a $c$-t úgy ahogy van. Az $E = mc^2$-ből $E = m$ lesz. Tehát már hivatalosan is egyenlő az energia a tömeggel. A $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2}}$ lesz. De menjünk előre, mert fokozatosan kell felépítenünk a dolgokat.
Ez azt is jelenti, hogy a téridő diagramon a fény mindig átlósan fog menni, minden más tömeggel rendelkező dolog lassabban fog menni ennél, tehát inkább a függőlegeshez tartó vonal lesz.
A téridőben a pontokat úgy hívjuk, hogy események. Mivel ezek a pontok megmondják, hogy valami hol és mikor történt. A téridőben az eseményeknek 4 koordinátájuk van. Az első az idő, a másik 3 pedig pedig a szokásos térkoordináta tehát: $(t, x, y, z)$.
Ha meg csak 1 térdimenzióban dolgozunk (amelyben csak balra és jobbra lehet haladni), akkor $(t, x)$.
Azok az események, amelyek azonos helyen, de különböző időpontban történnek, függőlegesen helyezkednek el a téridőben. Azok az események, amelyek azonos időben, de különböző helyeken történnek, vízszintesen helyezkednek el a téridőben.
Hogyan változik a téridő, hogy változik a sebesség?
Ebben a szekcióban megnézzük, hogy a 15. részben a relativitás kapcsán említett dolgok hogyan is jelennek meg a téridőben. Először is vegyünk egy órát, amely itt van mellettünk és másodpercenként kettyen egyet. Ezek a kettyenéseket jelöljük téridő grafikonon így:
Egy óra kettyenései téridő grafikonon. Azonos helyen történnek tehát egy függőleges vonalon vannak. Valamint szabályos időközönként történnek, ezért egyenletes távolságokra vannak egymástól.
Tettem még bele két fénysugarat balra és jobbra, ezt mutatja azt a két szép átlós vonal, ahogy ered az origóból. A relativitásnak van egy fontos tulajdonsága, amelyről már írtam az előző részben is: a fény sebessége minden nézőpontból azonos. Ez azt jelenti, hogy az átlós vonalak a téridőben mindenképp átlós vonalak maradnak. Ez pedig erősen meghatározza, hogy miféle átalakítások jöhetnek szóba.
Először is az átlók megmaradásáról. Azok a pontok vannak az átlókban, amelyeknek a koordinátái pl. ezek: $(1, 1)$, $(2, 2)$. Vagy a másik átlón pl. ezek: $(-3, 3)$, $(-5, 5)$, $(3, -3)$, stb. Magyarán, ahol $t = x$, vagy $-t = x$. Ha ezt a két egyenletet négyzetre emeljük ugyanazt az egyetlen egy egyenletet kapjuk: $t^2 = x^2$. És ezt a tulajdonságot meg kell tartania annak az átalakításnak, amit keresünk.
Másrészt ennek a transzformációnak meg kell változtatnia sebességeket. Ha mi mozgásba jövünk és megindulunk jobbra valamilyen $v$ sebességgel, akkor a mi szemszögünkből minden más megindul balra, tehát a sebessége $-v$ lesz. És akkor ott van még az időnyúlás. Az az óra, amely álló helyzetben valamilyen $t$ időtartam alatt kattan egyet ha mozgásba jön, $\gamma t$ időtartam alatt fog kattanni egyet. Tehát álló helyzetben a kattanás valamilyen $t$ időpontban történik a $0$ helyen. Mozgásba jövetel után pedig a $\gamma t$ időpontban, később fog történni, mert lelassult az idő; a helye pedig $-v \gamma t$ helyen lesz, mert ugye közben mozgásba jött ez idő alatt $-v$ sebességgel mozgott, mert ugye mi megindultunk. Tehát:
$$ \left(\begin{array}{c}t \\ 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c} \gamma t \\ -v \gamma t \end{array}\right) $$
A könnyebb láthatóság kedvéért oszlopvektorokat használtam. Na most ahhoz, hogy az átlók megmaradjanak ezt még ki kellene egyensúlyozni így:
$$ \left(\begin{array}{c} t \\ x \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c} \gamma t - v \gamma x \\ -v \gamma t + \gamma x \end{array}\right) $$
Valóban megmaradnak-e az átlók? Próbáljuk ki úgy, hogy behelyettesítünk két azonos betűt:
$$ \left(\begin{array}{c} A \\ A \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c} \gamma A - v \gamma A \\ -v \gamma A + \gamma A \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} A (\gamma - v \gamma) \\ A (\gamma -v \gamma) \end{array}\right) $$
Bizony egyenlő marad. És a másik átló? Próbáljuk ki ellenkező előjelűekkel:
$$ \left(\begin{array}{c} -A \\ A \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c}- \gamma A - v \gamma A \\ v \gamma A + \gamma A\end{array}\right) = \\ \left(\begin{array}{c} A (-\gamma - v \gamma) \\ A (\gamma + v \gamma) \end{array}\right) = \\ \left(\begin{array}{c} -A (\gamma + v \gamma) \\ A (\gamma + v \gamma) \end{array}\right) $$
Így is jó. Ha ezt általánosítjuk úgy, hogy az Y és Z tengely is benne legyen, akkor amennyiben a sebességváltozás csak az X tengellyel párhuzamos, úgy az események Y és Z koordinátái nem fognak megváltozni:
$$ \left(\begin{array}{c}t \\ x \\ y \\ z\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c}\gamma t - v \gamma x \\ -v \gamma t + \gamma x \\ y \\ z\end{array}\right) $$
Vajon ebben a négy dimenzióban is „átlósak” maradnak-e az origótól átlósan elhelyezkedő események? Azt mondtuk, hogy azok az események vannak átlósan, amelyek térben és időben is ugyanakkora távolságra vannak az origótól. Tehát az esemény időben $t$ idő múlva következik be, a térbeli távolsága az origótól pedig a Pitagorasz-tétel alapján $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. És a kettőnek egyenlőnek kell lennie, hogyha azt szeretnénk, hogy átlósan álljon a dolog, tehát $t = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, vagy négyzetre emelve: $t^2 = x^2 + y^2 + z^2$. Átrendezve pedig: $t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$.
Nézzük meg, hogy transzformált koordináták mit adnak ki, hogyha behelyettesítjük őket:
$$ \left( \gamma t - v \gamma x \right)^2 - \left(-v \gamma t + \gamma x \right)^2 - y^2 - z^2 = \\ \gamma^2 \left(t - v x \right)^2 - \gamma^2 \left(-v t + x \right)^2 - y^2 - z^2 = \\ \gamma^2 \left(t^2 - 2 v x t + v^2 x^2 \right) - \gamma^2 \left(v^2 t^2 - 2 v x t + x^2 \right) - y^2 - z^2 = \\ \gamma^2 \left(t^2 - 2 v x t + v^2 x^2 - v^2 t^2 + 2 v x t - x^2\right) - y^2 - z^2 = \\ \gamma^2 \left(t^2 + v^2 x^2 - v^2 t^2 - x^2 \right) - y^2 - z^2 = \\ \gamma^2 \left(t^2 - x^2 \right)\left(1 - v^2\right) - y^2 - z^2 $$
Mivel a fénysebességet 1-nek vettük ezért $\gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2}}$. A négyzete pedig így $\gamma^2 = {1 \over 1 - v^2}$ lesz. Behelyettesítve:
$$ {1 \over 1 - v^2} \left(t^2 - x^2 \right)\left(1 - v^2\right) - y^2 - z^2 = \\ t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$
Azaz visszakaptuk az eredeti kifejezést. Azaz függetlenül attól, hogy a pont átlósan szerepel-e vagy sem, ennek a kifejezésnek az értéke megmarad. És ez egy fontos tulajdonsága ennek a transzformációnak.
Ezt a transzformációt egyébként úgy szokták hívni, hogy Lorentz-transzformáció.
Az alábbi interaktív képen lehet kipróbálni, hogy ez transzformáció hogyan is működik.
Téridő egy mozgó megfigyelő szemszögéből. (A csúszka segítségével változtatható a sebesség.) Látható, hogy az időlassulás miatt egyre kevesebb kettyenés fér bele a képbe. És az is látható, hogy ez a transzformáció a fényt helyben hagyja hiszen a fény sebessége minden megfigyelő számára állandó.
Ez a transzformáció kicsit olyan, mint egy forgatás. Ha valamit elforgatunk a részecskéik között a távolság megmarad, tehát az egyszerű forgatás során az $x^2 + y^2 + z^2$ összeg marad állandó. A téridő forgatása esetén az időt is bele kell venni a dologba, csak ellenkező előjellel, tehát itt a $t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ összeg lesz állandó. A $t^2$ van plusz előjellel, a többi pedig negatív előjellel.
Ez volt az időlassulás, és a fénysebesség állandóságának az ábrázolása. Nézzük meg, hogy mi a helyzet a hosszrövidüléssel. Egy kiterjedt test egy vastag csíkot húz. Nézzük meg, hogy valóban van-e hosszrövidülés:
Az hosszrövidülés demonstrációja. A kiterjedt testek egy vastag csíkot húznak a téridőben (A csúszka segítségével változtatható a sebesség.) Tettem egy fix szaggatott vonalat is, hogy látható legyen, hogy a gyorsabban mozgó test egy kisebb szakaszon metszi a szaggatott vonalat. Ez a hosszrövidülés.
Mielőtt továbbmennénk felmerülhet a kérdés, hogy vajon ez az állandóság bármely 2 esemény között fennáll-e? Azt ugye beláttuk, hogy az origóhoz képest fennáll. Ebben a transzformációban láthatjuk, hogy egy összegről van szó, amelynek minden tagjában a $t$, az $x$, $y$ és $z$ szerepel szorzótényezőként. Ez az ilyen transzformációkat úgy hívjuk, hogy lineáris transzformáció. És ezeknek az a fontos tulajdonsága, hogy teljesen mindegy, hogy milyen origót választunk a transzformáció eredményeként kapott kép ugyanaz lesz minden esetben (csak ugye az origó mozdul el közben). Ez összhangban van azzal az elvvel is, hogy a természetet nem érdekli, hogy hova tesszük a világ közepét, és azt sem, hogy milyen főirányokat választunk meg.
Jelen, múlt és jövő
Hogyan jelenik meg a múlt és a jövő a téridőben?
A téridőben minden eseményhez tartozik egy előrevetülő és egy hátravetülő fénykúp. Az előrevetülő fénykúp tartalmazza azokat az eseményeket, amelyre az aktuális esemény hatással lehet. A múltba vetülő fénykúp tartalmazza azokat az eseményeket, amelyek hatással lehetnek az aktuális eseményre. A fénykúpokon kívül független események vannak, amelyek semmilyen körülmény között nem befolyásolják az aktuális eseményt vagy fordítva. Az egymástól független események az időben tetszőleges sorrendben történhetnek. Az előre és a hátravetülő kúpokban viszont a sorrend rögzített, az ok mindig megelőzi az okozatot.
A fenti téridő diagramon, vegyük azt a pillanatot, amikor épp az origóban vagyunk. Mivel a fény a leggyorsabb és semmi sem mehet gyorsabban nála, ezért ez lekorlátozza, hogy mely események vannak hatással mostani pillanatra. Azon események, amelyeknek hatása lehet az aktuális pillanatra az origó alatt a két átlós vonal között találhatók. Azok az események pedig, amelyekre az aktuális pillanat hatással lehet, az origó felett a két átlós vonal között találhatók. A múltbéli események az ún. hátravetülő fénykúpban, míg a jövőbeli események az ún. előrevetülő fénykúpban találhatók.
Mi a helyzet azokkal az eseményekkel, amelyek kívül esnek ezeken a fénykúpokon? Azoknak az eseményeknek semmilyen hatása nincs az aktuális pillanatra, és az aktuális pillanatnak sem lehet semmilyen hatása rájuk. Teljesen függetlenek egymástól. Mivel teljesen függetlenek egymástól ezért ezek az események időrendben felcserélődhetnek. Azonban azok az események, amelyeknek lehet egymásra hatása, soha sem cserélődhet fel az időben, az ok mindig megelőzi az okozatot, fordítva nem lehetséges. A fenti ábra egyébként ugyanúgy deformálható egérrel, mint az őt megelőző és ezt ki is lehet próbálni. Amíg a kúpokon kívüli események egymás elé és mögé kerülhetnek az időben, addig kúpokon belüliek soha sem kerülhetnek át a túloldalra.
Ezt a dolgot matematikailag a következőképpen lehet leírni. Veszünk 2 tetszőleges eseményt. Kivonjuk egymásból a téridő-koordinátákat, így kapunk egy $\Delta t$, $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$ értékeket. Majd kiszámoljuk a $\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$-et. Ha a kapott szám pozitív, akkor a 2 esemény lehet egymás oka. Ha negatív, akkor a 2 eseménynek semmi köze nincs egymáshoz. Az előbbi esetén azt mondják, hogy a két esemény között időszerű távolság van. Az utóbbi esetben pedig azt mondják, hogy a két esemény között térszerű távolság van. Ha a kifejezés értéke pontosan 0, akkor azt mondják, hogy a két esemény között fényszerű távolság van, azaz a két esemény csak és kizárólag a fény segítségével hathat egymásra.
Négyesvektorok
A téridőben 2 esemény közé húzhatunk egy vektort, akárcsak a térben, csak ennek a vektornak 4 koordinátája lesz. 3 tér koordinátája lesz neki, amely a szokásos módon megmondja, hogy mennyit kell jobbra, fel és előre menni, hogy vektor elejéből a végébe jussunk térben. És van 1 idő koordinátája neki, amely megmondja, hogy mennyit kell időben menni előre, hogy az elejéből a végére érjünk. Ezt elképzelni úgy kell, hogy elképzelünk egy pontot a térben, ahogy elindul a vektor elejétől és szépen egyenletes sebességgel ez pont mozog a vektor hegyéig az idő koordináta által megadott idő alatt. Például nézzük a (3; 1,5; 0; 0) vektort. Ez azt jelenti, hogy egy pont elindul az origóból, az első másodpercben a tér (0,5; 0; 0) pontjában van, a másodikban (1,0; 0; 0) pontjában van, a harmadikban pedig megérkezik majd a (1,5; 0; 0) pontjába.
A következő alszekciókban megnézzük, hogy ezek a négyesvektorok műveletei hogyan működnek. És összevetjük őket a korábban már ismertetett térbeli vektorokkal.
Négyesvektorok hossza
A szokásos térbeli vektorok hossza állandó marad, függetlenül attól, hogy hogyan választjuk meg a koordináta-tengelyeinket. Egy vektor hosszának a négyzetét úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk önmagával (belső szorzat használatával), tehát:
$$ || (x, y, z) ||^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$
Négyesvektorok esetén ez így alakul:
$$ || (t, x, y, z) ||^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$
És ahogy mondtuk ez pont az a mennyiség, amelyet a Lorentz-transzformáció megtart, az független attól, hogy milyen sebességgel megyünk. Ezért a négyesvektorok hossznégyzete pont ez lesz. Ezután már csak gyököt kell belőle vonni, és meg lesz a hossz.
Ha ez a négyzet pozitív, akkor a vektor időszerű, ez megadja a legrövidebb időt, amely az összekötött 2 esemény között eltelhet, az ilyen akkor van, amikor a két esemény olyan viszonyítási pontból nézzük, hogy az egy helyben történik tehát nincs időnyúlás. Ha ez a négyzet negatív, akkor a vektor térszerű. Ekkor előjelet váltva és gyököt vonva megkapjuk a legrövidebb távolságot, amely két esemény között lehet, ez akkor van, amikor olyan viszonyítási rendszerből nézzük a két eseményt, amelyben az azonos időpontban történik. Ez az az eset, amikor mozgó kamion közepéből indítunk egy fénysugarat, álló helyzetben egyszerre ér oda két fénysugár, és ez a legrövidebb távolság a két esemény között, ami lehetséges. Ha mozgó kamiont nézzük, akkor ott a két fénysugár nem fog egyszerre odaérni a falakhoz, és a két esemény között is nagyobb távolság lesz, mint álló helyzetben (ha visszaemlékezünk azokra az animációkra). Ha nulla, akkor a vektor fényszerű (tehát átlós irányba mutat).
Négyesvektorok belső szorzata
A térbeli vektoroknál ez úgy működött, hogy a koordinátákat páronként összeszoroztuk és összeadtuk tehát:
$$ (a_1, a_2, a_3) \cdot (b_1, b_2, b_3) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 $$
Négyes vektorok esetén hasonló módon megy ez, annyi különbséggel, hogy az időkomponensek szorzata más előjellel szerepel, mint a térkomponenseké:
$$ (a_0, a_1, a_2, a_3) \cdot (b_0, b_1, b_2, b_3) = a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 $$
Ezt a szorzatot a Lorentz-transzformáció megtartja. Azért van így definiálva ez a szorzat.
Amikor két vektor belső szorzata 0, akkor azt mondjuk, hogy a két vektor ortogonális egymásra. Az ortogonalitás két térbeli vektor esetén azt jelenti, hogy a két vektor merőleges egymásra. A téridőben is hasonló a jelentése, de két ortogonális négyesvektor nem feltétlenül jelenik meg merőlegesként a téridő diagramon. Továbbá egy időszerű négyesvektorra csak egy térszerű négyesvektor lehet ortogonális.
Lendület és energia a téridőben
Az előző részből emlékezzünk vissza, hogy hogyan is számolunk energiát és lendületet. Az álló test lendülete $0$, mert nem mozog. Az energiája pedig $mc^2$. De mivel az $c$-re azt mondtuk, hogy 1, ezért az álló test energiája egyszerűen $m$. Na most mi a helyzet, hogyha mozgásba jön? Ekkor az energia $\gamma m c^2$ lesz, $\gamma$ a sebességhez tartozó korrekciós tényező. Vagy $c = 1$-gyel számolva egyszerűen $\gamma m$. A lendület pedig $-\gamma m v$ lesz. Mert ha mi előre mozdulunk a világ $-v$ vel mozog majd hátrafelé. Vessük ezt össze azzal a számolással, amikor korábban $(t, 0)$ eseményt transzformáltuk. Szinte tök ugyanaz csak $m$-mel.
$$ \left(\begin{array}{c}m \\ 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{c} \gamma m \\ -v \gamma m \end{array}\right) $$
És ez tényleg így van, az energia-lendület páros teljesen úgy transzformálódik, mint ahogy az események. És ez elég fontos felfedezés, mert megtaláltuk a kapcsolatot két olyan fizikai mennyiség között, amit eddig egymástól függetlennek gondoltunk. Ezt a fenti vektort egyébként úgy is nevezik, hogy energia-lendület vektor. De úgy is nevezik, hogy négyeslendület.
Lássunk egy animációt arról, hogy az energia és a lendület hogyan alakul, egy tárgy világvonalának egyes pontjain. A vektor vízszintes összetevője a lendület, a függőleges összetevője az energia.
A test pályája (kékkel), és az ehhez tartozó energia-lendület vektor (pirossal). A mozgási energia és a lendület is nagy, miközben a test gyorsan mozog, ezért a vektor hosszú, és az átlós felé tart. Valamint az is megfigyelhető, hogy ez a vektor mindig egy érintővektor, az adott pontban pontosan a világvonal irányába mutat. A szimuláció kattintásra indítható, és látható, hogy ez a vektor mekkora a test mozgása közben. Továbbá ez a téridő is a korábbiakhoz hasonlóan deformálható, figyeljük meg, hogy a deformálás esetén a piros vektor hossza ennek megfelelően igazodik.
Tehát az időhöz az energia tartozik, a térhez pedig a lendület. És mivel a kettő teljesen úgy transzformálódik, mint az események, ezért itt is hasonlóan van egy olyan érték, amely állandó marad, függetlenül attól, hogy honnét és milyen sebességgel nézzük. A $t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ állandó, és hasonlóan az $E^2 - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2$ is állandó lesz, ahol $E$ az energia, a $p_x$, $p_y$ és $p_z$ pedig a lendület összetevői lesznek. Itt a mi példánkban csak $p_x$ van, de működik a dolog akkor is, amikor más irányú komponensek is vannak. De mivel a természetet nem érdekli, hogy hogyan választjuk meg a térbeli koordinátatengelyeinket, ezért mindig érdemes úgy megválasztani, ahogy nekünk kényelmes...
Na de akkor most nézzük, hogy mennyi is ez a megmaradó mennyiség. Az energia $\gamma m$, a lendület nagysága $\gamma m v$. A kettő négyzetének a különbsége pedig:
$$ \gamma^2 m^2 - \gamma^2 m^2 v^2 = \\ \gamma^2 m^2 (1 - v^2) = \\ {1 \over 1 - v^2} m^2 (1 - v^2) = \\ m^2 $$
Azaz nem más, mint a tömeg négyzete, ez az ami állandó. Amikor a modern fizikusok egy részecske tömegéről beszélnek, akkor ők erre a tömegre gondolnak. Veszik az energianégyzet és a lendületnégyzet különbségét, majd gyököt vonnak belőle és meg lesz a részecske tömege. Nagyban, a valóéletben ez az a tömeg, aminek súlya van, ez az a tömeg, amely gravitációs mezőt kelt.
Az egyik legfontosabb törvény a fizikában az energia és a lendület megmaradásának a törvénye. Azaz, amikor egy részecske lebomlik, akkor az eredményképpen kapott részecskék lendülete és energiája annyi lesz, mint a kiinduló részecskéé. És egyben a rendszer tömege is változatlan lesz. Ez elég különös dolgokat okoz, hogyha a fenti szabályt is alkalmazzuk.
Amikor egy elektron és egy pozitron összeütközik, akkor kölcsönösen megsemmisítik egymást és a reakció során 2 nagy energiájú foton (fény részecskéje) keletkezik. A fénynek viszont nincs tömege. A fény energiája és lendülete azonos. Ha a kettő négyzetét kivonjuk egymásból, nem kapunk mást, mint egy nagy nullát. Hova lett akkor az elektron és a pozitron tömege? Való igaz, hogy egy fotonnak nincs tömege. Viszont, ha a 2 foton energiáját és lendületét összegezzük, akkor a 2 fotonból álló rendszer esetén az energianégyzet és a lendületnégyzet különbsége már nem lesz 0. Tehát 2 vagy több fotont együtt kezelve már van tömege a rendszernek. És ez a tömeg pontosan megegyezik a pozitron és az elektron tömegével, amely megsemmisült.
Ebben az az érdekes, hogyha veszünk egy kamrát, amelyből kiszívjuk az összes levegőt, a kamra akkor sem lesz üres. A kamra falaiból annak a hősugárzása folytán folyamatosan fotonok lépnek ki, és nyelődnek el a túloldalon. És ennek a sok fotonnak együtt már van tömege és súlya is. Hiába tömeg nélküli részecskék.
Erő és munka a téridőben
Van pár szabály, amely a relativitásban is változatlan formában megmarad. Ez egyik a munka (energiaváltozás) és az erő kapcsolata, mely szerint a végzett munka mértéke az erő és az erő mentén végzett elmozdulás szorzata, tehát $\v W = \v F \cdot s$. A másik pedig az erő és a lendület kapcsolata, mely szerint az erő a lendület változásának a sebessége, azaz $\v F = \d \v p / \d t$. Számoljunk ezekkel egy kicsit.
Tegyük fel, hogy van egy elektronunk, és ezt átküldjük két fémlemez között, amelyek között 10000 V feszültség (potenciálkülönbség) van. Mennyi lesz az elektron energiája a végén? Van egy mértékegység, az elektronvolt (eV), amely pont ezt mondja meg. Össze kell szorozni, hogy hány elektronnyi töltés van, és mekkora potenciálkülönbség között megy át, és meg is kapjuk, hogy mennyi elektronvolt lett az energiája. Esetünkben 1 elektron megy át 10000 V potenciálkülönbségen, tehát a mozgási energiája 10000 eV lesz. Az elektron saját tömegéből következő energiája, amikor áll, 511 keV (kiloelektronvolt). Ehhez jött hozzá ez a 10 keV, amit hozzáadtuk így most már van neki 521 keV. Milyen gyorsan megy? Ugye a nyugalmi energia $mc^2$, ha meg mozog, akkor az energia $\gamma m c^2$. Tehár csak szimplán el kell osztani az energiáját a nyugalmi energiával: 521 / 511 $\approx$ 1,0195. Ez lesz majd a gamma faktor, ami a sebességéhez tartozik. Ebből visszaszámolva a sebességet ($v = \sqrt{\gamma^2 - 1 \over \gamma^2}$) azt kapjuk, hogy az elektron a fénysebesség kb. 20%-ával azaz kb. 60000 km/s sebességgel fog a másik elektródába csapódni. Azért ez elég durván nagy sebesség.
Milyen pályán fog mozogni ez az elektron? Induljunk ki abból, hogy az energia-lendület vektor hossza a tömeg, azaz:
$$ E^2 - p^2 = m^2 $$
Az $E$ a részecske teljes energiája a $p$ a lendülete. A kettő négyzetének a különbsége pedig a tömeg négyzete. Ezt már korábban is levezettük, csak akkor az energia ki volt fejtve $\gamma m$, a lendület pedig $\gamma m v$ formában. Nem kell nagyon megijedni tőle. És ez az egyenlet bármilyen egyenletesen mozgó viszonyítási rendszerben fennáll.
És az is adott, hogy a munka erő szorozva elmozdulással, azaz: $W = F x$. $W$ a munka, $F$ az erő, $x$ pedig az elmozdulás. Ha mondjuk az erő gyorsítja a testet, akkor az energiája így alakul ahogy mozog:
$$ E = E_0 + F x $$
Az $E_0$ egy tetszőleges kiinduló energia. Hasonlóképpen a lendület esetén. Ugyanis az erő nem más, mint a lendületváltozás sebessége: $F = {\d p \over \d t}$. $F$ az erő, $p$ a lendület, $t$ az idő a mi óránkon (nem a mozgó megfigyelőén). Vagy át is rendezhetjük ezt egy picit: $\d p = F \d t$. Tehát, amíg az energia a megtett úttal egyenesen arányosan nő, a lendület az idővel egyenesen arányosan nő. Azaz
$$ p = p_0 + F t $$
Meglehetősen szimmetrikus szabályok ezek. Behelyettesítve:
$$ (E_0 + F x)^2 - (p_0 + F t)^2 = m^2 $$
Majd osszuk el ezt $F^2$-tel. Ekkor ezt kapjuk:
$$ \left({E_0 \over F} + x\right)^2 - \left({p_0 \over F} + t\right)^2 = {m^2 \over F^2} $$
Milyen görbe mentén szóródnak ezek az $x$ és $t$ értékek? Amikor két mennyiség négyzetének a különbsége egy konstans, akkor az értékek egy hiperbola mentén szóródnak.
Egy általános hiperbola egyenlete $x^2 - y^2 = r^2$, ahol $x$ és $y$ a pontjainak a koordinátái az $r$ pedig a sugara neki. Ez az egyenlet egyébként a kör egyenletével rokon, amely ugyanez csak abban a mínusz helyett plusz van: $x^2 + y^2 = r^2$. Azzal, hogy az $x$-hez és az $y$-hoz hozzáadunk a számot, azzal ezt a hiperbolát tudjuk eltolni. Tehát az $(x + x_0)^2 - (y + y_0)^2 = r^2$ olyan, mint az előbbi egyenlet, csak az origót, az $(x_0, y_0)$ pontot, toltuk.
Minél kisebb ennek a hiperbolának a sugara, annál nagyobb gyorsulást jelez a hiperbola. A gyorsulás, amit a gyorsuló test érez és mér $F / m$ lesz, ez az ún. helyi gyorsulás. A nagysága pedig az hiperbola sugarának a reciproka lesz.
Sebesség: Sugár:
Egyenletesen gyorsuló test hiperbola alakú csíkot húz a téridőben. Ennek a hiperbolának az alakját a Lorentz-transzformáció változatlanul megtartja. Tehát a hiperbola alakja egyértelműen meghatározza, hogy mekkora ez a gyorsulás. Minél nagyobb a hiperbola sugara, annál kisebb gyorsulást jelez. A gyorsulás a hiperbola sugarának a reciproka.
A következő részben (amely talán az legelvontabb lesz a sorozatban eddig). Majd megnézzük, hogy hogyan okoz a gyorsulás időnyúlást, és egyéb érdekes dolgokat.
Átváltás természetes és a szokványos mértékegységek között
Azt mondtuk, hogy a téridőben 1 s = 300 000 000m. Ennek a következménye az, hogy ahol másodperc van oda írhatunk métert is. A sebesség mértékegysége m/s. De az előbbi miatt a másodpercet mérhetjük méterben is, így m/m = 1. A téridőben a sebességnek nincs mértékegysége. Egyszerűen a világvonal ferdeségét adja meg, 0 függőleges és álló helyzetet jelöl, a 1 a fénysebesség, a kettő között található az összes többi sebesség.
A lendület mértékegysége kg m/s. A lendület 1 kg m/s, amikor egy 1 kg-os tárgy 1 m/s sebességgel mozog; vagy egy 0,5 kilós mozog 2 m/s sebességgel, stb. Téridőben km m/m a mértékegység, azaz csak egyszerűen kg-ban mérhetjük a lendületet. Mennyi 1 kg lendület? Nagyon nagy mennyiség. 300 000 000 kg m/s-nak felel meg. Azaz mintha egy 3000 tonnás valami mozogna 100 m/s-al.
Az energia mértékegysége a Joule, ami tulajdonképpen kg m${^2}$/s${^2}$. A másodperc helyére métert helyettesítve csak a kg marad meg. Azaz az energiát lehet kilóban is mérni. 1 kg energia hatalmas mennyiség. 90 000 000 000 000 000 J. De azért mégsem emberi léptékkel felfoghatatlan. Az áramot tipikusan kWh-ban számlázzák, 1 kWh = 3 600 000 J. Az előbbi nagy számot elosztva azt kapjuk, hogy 1 kg energia 25 milliárd kWh-nak, azaz 25TWh-nak felel meg. A világ áramfogyasztása 2012-ben 20900 TWh volt. Azaz 836 kg elektromos energiát használt a világ. Ez az szám egészen kezelhető. A 2014-es adatok szerint Magyarország kb. 1,7 kg energiát fogyasztott. 1 mg anyagból (25000 kWh) pedig átlagos háztartás összes energiája fedezhető legalább 20 évig. Csak ezt az energiát szinte lehetetlen felszabadítani az anyagból közvetlenül...
A gyorsulás mértékegysége m / s${}^2$. A másodperc helyére métert helyettesítve ez a téridőben ez 1 / m lesz. Ez onnét jön, hogy a gyorsuló test egy hiperbola pályát ír le a téridőben. A gyorsulása pedig ezen hiperbola sugarának a reciproka. Tehát, ha a hiperbola sugara mondjuk 9 méter. Akkor annak a reciproka 1/9 1/m lesz. Innen a mértékegység. Mekkora gyorsulásnak felelne meg 1 1/m? Hatalmas gyorsulás lenne: 90 000 000 000 000 000 m / s${}^2$. Annak a bizonyos hiperbolának a sugara fontos lesz majd később, a következő részben kiderül, hogy miért.
Az erő mértékegysége a newton, amely SI alapegységekre átírva kg m / s${}^2$. A téridőben ez kg / m lesz. Ahogy mondtuk a munka az erő és az elmozdulás szorzata. De ezt meg is fordíthatjuk: az erő a munka és az elmozdulás hányadosa. A téridőben az energiát kilogrammban, az elmozdulást méterben mérjük. A kettő hányadosa lesz az erő. 1 kg / m erő hatalmas erő 90 000 000 000 000 000 N erőnek felel meg. Ilyen hatalmas erő hatására bármilyen test vagy részecske 1 kiló energiát fog magára szedni minden egyes méter megtett út után.
A következő részben majd megnézzük, hogy az előző részben említett paradoxonok hogyan jelennek majd meg a téridőben, illetve azt is, hogy milyen érdekes dolgokat tapasztalhat majd egy folyamatosan gyorsuló test.
