Számolás elhanyagolhatóan pici dolgokkal
Mivel a fizikában elég sokszor előjön a deriválás és az integrálás gondoltam, hogy még egy kisebb cikket írok a témában, hogy könnyebb legyen ezeket a dolgokat felfogni ésszel. Ez nem egy matematikailag precíz értekezés, csak a téma könnyebb megértését szolgálja. Ahogy a címben is írtam elhanyagolhatóan pici dolgokról lesz szó. Milyen pici az a dolog, amely elhanyagolhatóan pici? A természetben hozzávetőlegesen 100 nagyságrend van. A legkisebb dolog a neutrínó $10^{-24}$ méter mérettel. A legnagyobb dolog pedig a belátható világegyetem $10^{27}$ méter mérettel. Ez kb. 51 nagyságrend. Vannak elméletek, amelyek ennél is kisebb illetve nagyobb méretekkel dolgoznak. De azokat gyakorlatilag lehetetlen lesz bebizonyítani. Időben a legkisebb időtartam, amelyen valami fizikailag értelmes dolog történik szintén $10^{-24}$ másodperc. Ennyi idő alatt bomlik el egy W vagy Z bozon átlagban. A másik irányban $10^{24}$ másodperc múlva a világegyetem elég unalmas lesz: az összes csillag kialudt már, és semmi sincs már, ami fényt adjon. A bolygók is fagyott élettelen jégtömbök már... Szóval ennél nagyobb időtartamokban sem érdemes gondolkodni egyelőre. Bár vannak elméletek, amelyekben a $10^{-44}$ és a $10^{50}$ másodpercnek is van értelme, ezeknek a következményeit talán soha se fogjuk megmérni.
Pici és hatalmas dolgok
Szóval az előbbiek alapján kinevezhetünk egy nagyon pici dolgot legyen:
$$ \epsilon = 10^{-1000} $$
Ez egy olyan szám, hogy leírva 0,0000000000....000001, csak 1000 nullával. Nagyon pici, de nem nulla. Ez egy olyan pici dolog, hogyha beszoroznánk a fizikailag értelmezhető legnagyobb dolognál is nagyobb dologgal mondjuk $10^{40}$-nel, akkor is csak $10^{-960}$ lenne, azaz továbbra is elhanyagolhatóan pici. Azaz $\epsilon$: pici. Beszorozva egy tetszőleges normális léptékű számmal, legyen ez a szám $k$, $k \epsilon$: még mindig nagyon pici.
Nézzük meg $\epsilon$ hatványait $\epsilon^2 = 10^{-2000}$ pici a négyzeten sokkal kisebb. $\epsilon^3 = 10^{-3000}$ ez még a négyzetesnél is sokkal kisebb. Ha $\epsilon^2$-t beszorozzuk egy jó nagy számmal, mondjuk $10^{40}$-nel, akkor is csak $10^{-1960}$, azaz még a picinél is sokkal kisebb marad.
És nézzük a másik oldalt is. Mi van akkor, hogyha osztunk egy pici dologgal. Pl, mennyi: $2 / \epsilon$? Ha kicsi dologgal osztunk, akkor hatalmas dolgot kapunk: $2 \cdot 10^{1000}$ lesz. Azaz a skála megy a másik irányba is a hatalmas dolgok felé, amelyek olyan nagyok, hogyha elosztjuk egy emberi léptékkel felfogható számmal, még mindig hatalmas marad. Ezt a hatalmas dolgot $\omega$-val jelölik és így definiálják: $\omega = 1 / \epsilon$. Tehát esetünkben $\omega = 10^{1000}$. És ezt is lehetne még fokozni: $\omega^2 = 10^{2000}$. Ez már hatalmas a négyzeten. És így tovább.
A piciség és hatalmasság fokai
A következőkben a pici és a nagy dolgokhoz hozzárendelünk egy fokszámot. Ez azt mondja meg, hogy egy adott dolog mennyire hatalmas vagy pici. Nevezzük ezt most ebben az írásban omegafoknak. Gyakorlatilag ez azt mondja meg, hogy az $\omega$ hányadik hatványon szerepel az adott dologban. Pl. az olyan nagyságú számok esetén, mint a 42 ez a fokszám nulla, mert $\omega^0 = 1$, ahogy minden szám nulladik hatványa 1. De pl. $56\omega^3$ esetén már ez a fokszám 3, míg pl. $17\epsilon^2$ esetén -2, mert $\omega^{-2} = \epsilon^2$.
Most nézzük meg, hogy az egyes alapműveletek hogyan befolyásolják ezt:
Szorzás és osztás
Pl. nézzük ezt: $12\epsilon^2 \cdot 23 \epsilon^3 = 276 \epsilon^5$. Látható, hogy az első tag omegafoka -2 a másodiknál -3, a szorzás pedig összeadja ezeket és így az eredmény omegafoka -5 lesz. Kicsit általánosabban: $a\omega^n \cdot b\omega^m = ab\omega^{m + n}$.
Nézzük az osztást. Mennyi a foka mondjuk ennek: $34 \epsilon / 2 \epsilon$? Ha elvégezzük a számolást 17-et kapunk, tehát két -1 fokút elosztunk, akkor 0 lesz az eredmény foka. Ki kell vonni a 2 kifejezés fokát, hogy megkapjuk az eredmény fokát. Általánosabban: ${a \omega^n \over b \omega^m} = {a \over b} \omega^{n - m}$.
Hatványozás
A hatványozás szorozza a kitevőt: $\left( \epsilon^5 \right)^4 = \epsilon^{20}$. Így az omegafokot is.
Összeadás és kivonás
Mennyi az omegafoka mondjuk a $43 + 15\epsilon$-nak? Mivel a 43-hoz képest a $15\epsilon$ nagyon pici. Ezért a 43 a domináns, így az foka 0. Összeadás esetén a kifejezés omegafoka a legnagyobb fokú tag foka.
A kivonás esetén a dolog trükkösebb, pl. mennyi a foka ennek? $42 + 123 \epsilon - 42$. Látható, hogy a 42 kiesik, így marad a $123 \epsilon$. Így ennek a foka -1. Viszont $5\omega + 42 + 123 \epsilon - 42$ esetén már 1 lesz a fok, hiába esnek ki a számok, mert az $\omega$-s tag dominál majd.
A kivonás esetén is legnagyobb fokú tag a mérvadó, viszont ha több legnagyobb fokú tag van, és valamelyik előjele negatív, akkor fennáll a veszélye, hogy a negatív előjelű tag kiüti azt, így a kivonást is tartalmazó kifejezés foka kisebb is lehet, mint a legnagyobb tag. Ha csak 1 db tag van a legnagyobb omegafokkal, akkor azt másik kisebb fokú tag nem tudja kivonni, így ez esetben garantált a kifejezés omegafoka.
A kis tagok elhagyhatósága
Van egy számunk mondjuk 42. Ha ehhez hozzáadunk egy nagyon pici dolgot, akkor 42,0000000...0001 lesz. Sok sok nullával. Attól hogy hozzáadtunk egy pici dolgot, még mindig gyakorlatilag 42 lesz, még akkor is, hogyha matematikailag nem tökéletesen egyenlő a két szám. Így ezek a pici dolgok lényegében olyanok, mintha ott sem lennének, amennyiben jelen van egy nagyobb tag.
Nézzük meg, hogy az pici tagok hogyan befolyásolják az eredményt a négy alapművelet esetében, amikor összeadunk két olyan számot, amelyhez van egy ilyen pici dolog hozzáadva. Az ilyen pici dolgot tartalmazó dolgot pl. úgy lehet leírni, hogy $x + y \epsilon$, ahol $x$ és $y$ is egy szám, látható, hogy az $x$ adja a normál nagyságú tagot. Míg az epszilonos tag a pici hozzáadottat. Végezzünk el az ilyen dolgokkal az alapműveleteket:
$$ (a + b\epsilon) + (c + d \epsilon) = a + c + (b + d) \epsilon \\ (a + b\epsilon) - (c + d \epsilon) = a - c + (b - d) \epsilon \\ (a + b\epsilon)(c + d \epsilon) = ac + (ad + bc) \epsilon + bd \epsilon^2 \\ {a + b\epsilon \over c + d \epsilon} = {a \over c + d \epsilon} + \epsilon {b \over c + d \epsilon} \\ $$
Látható, hogy az epszilonos tagok előtt lévő együttható, a $b$ és a $d$, egyáltalán nem szól bele a nem epszilonos tagokba. Az összeadásnál és szorzásnál biztosan. Kivonásnál akkor lehet probléma, hogyha az $a - c = 0$. Az osztás pedig szintén szétszedhető egy epszilonos és nem epszilonos számlálójúra, a nevezőben az a pici epszilonnyi dolog pedig nem sok befolyással van az eredményre, mert az értékre a hatása elhanyagolható. Na persze, ha szigorúbbak leszünk ez is szétszedhető epszilonos és nem epszilonos tagra, hogy jobban láthassuk:
$$ {a \over c + d \epsilon} = {a \over c} - \epsilon {ad \over \epsilon^2 + c d \epsilon} $$
Tehát a lényeg az, hogyha a végeredményben olyan tag van, amelynek az omegafoka kisebb, mint a legnagyobb tag omegafoka, akkor ezek a kis tagok elhagyhatók, mert ez a kis dolog nem fog beleszólni a nagyobb omegafokú tag dolgaiba. Ez a tulajdonság sokat tud egyszerűsíteni akkor, amikor deriválunk.
Pici változások
Differenciálhatóságnak nevezik azt, amikor egy pici változás egy mennyiségben pici változást kelt az eredményben. Valamint ha ezt pici változást többszörözzük, akkor az eredmény pici változása is ennek megfelelően többszöröződik. Egyszerű példának okán nézzük a négyzetre emelést. 4 a négyzeten 16. Most nézzük 4,000001 négyzetét: 16,000008000001 lesz. A 4,000002 négyzetét: 16,000016000004 lesz. Most itt az egyszerűség kedvéért csak 6 nullás volt a pici változás, de látható a tagoltság. Ha áttérünk 1000 nullásra, akkor a 4,000....0002 négyzete 16,000...000016....000004 lenne. Látható, hogy az első pici nagyságrendű tag először 8 majd 16 lesz. Tehát a pici változás többszöröződik. Ha kétszer, háromszor nagyobb változást okozunk, akkor a változás az eredményben is kétszer, háromszor lesz nagyobb. Egy mennyiség pici változását úgy jelölik a matematikában, hogy elé írnak egy $\d$-t. Így $x$ pici változása $\d x$. Ennek a pici változásnak az omegafoka eggyel kisebb, mint az eredeti kifejezés (tehát ha $x$ foka 0 volt, $\d x$-é -1 lesz).
Most nézzük meg az előzőt kicsit elvontabban. Az eredeti állapot $x^2$, ahol $x$ tetszőleges szám lehet. A pici változás után $(x + \d x)^2$-et számolunk ki. Amely zárójelbontás után: $x^2 + 2 x \d x + \d x^2$ lesz. Mivel minket most csak a kicsi változás érdekel, ezért kivonjuk belőle az eredeti $x^2$-et. Marad $2x \d x+ \d x ^2$. Mivel a $\d x^2$ omegafoka -2, a másik tagé meg -1, így elhagyható. Így marad $2 x \d x$, amely -1-es omegafokú pici változás, ez tulajdonképpen az $x^2$ mennyiség pici változása tehát $\d (x^2)$. Most nézzük meg, hogy a többszörözés esetén mi van, ekkor valamilyen $k$-val szorozzuk be a $\d x$-et és végezzük el úgy $(x + k \d x)^2$-szel. Ha elvégezzük az előzőket, akkor valóban azt kell kapnunk, hogy a pici változás $2 x k \d x$ lesz, tehát az egész pici változása valóban a vártnak megfelelően többszöröződik. Ezzel beláttuk, hogy az $x^2$ differenciálható.
És most legáltalánosabban: van egy tetszőleges $x$-től függő kifejezésünk, jelöljük $f(x)$-szel. Az $f(x)$ differenciálható az $x$ változására, hogyha:
$$ f(x + k \d x) - f(x) = k \d (f(x)) $$
Ez a legáltalánosabb forma. Bármilyen differenciálható függvényt is helyettesítünk bele, ez működik. Pl. $x^3$ esetén: $(x + k \d x)^3 - x^3 = k \d (x^3)$. Kifejtve: $x^3 + 3 x^2 k \d x + 3 x k^2 \d x^2 + \d x^3 - x^3 = 3 x^2 k \d x = k 3 x^2 \d x = k \d (x^3)$. És így tovább.
Ez a dolog akkor is működik, hogyha több változónk van. Vegyük pl. a szorzatot. Két tetszőleges szám szorzata $xy$. Pici változás többszörözve: $(x + k \d x) (y + l \d y) = xy + xl\d y + yk\d x + k l \d x \d y$. Kivonjuk az eredetit: $xl\d y + yk\d x + k l \d x \d y$. Kiszedjük a túl pici $\d x \d y$-t: $xl\d y + yk\d x$. A többszöröződés itt is megfigyelhető, a $\d x$ és a $\d y$ is a saját együtthatójával többszöröződik.
És nézzük ezt is legáltalánosabb esetben. Van egy tetszőleges képletünk, amely függ 2 számtól. Legyen $f(x, y)$. Itt a $\d f(x, y)$ a pici változást jelenti az összes szám megváltozása miatt, tehát: $\d f(x, y) = f(x + \d x, y + \d y) - f(x, y)$. Azonban itt lehet beszélni arról is, amikor csak azt a változást nézzük, amely csak az egyik szám megváltozása miatt van. Ekkor alsó indexben jelezzük a $\d$-nél, hogy melyikre gondolunk: $\d_x f(x, y) = f(x + \d x, y) - f(x, y)$. Illetve: $\d_y f(x, y) = f(x, y + \d y) - f(x, y)$. És itt a differenciálhatóság így fest:
$$ f(x + k \d x, y + l \d y) - f(x, y)= k \d_x f(x, y) + l \d_y f(x, y) $$
És a legtöbb függvény, amely a fizikában megjelenik differenciálható. Tehát a fenti két dolog igaz lesz rájuk. És ezt ki is lehet majd használni.
Amikor deriválunk, akkor nem csinálunk mást, mint pici változásokat osztunk el egymással, hogy ebből kapjuk egy 0 omegafokú értéket, amiben már nincsenek pici dolgok. Pl:
$$ {\d(x^3) \over \d x} = {3 x^2 \d x \over \d x} = 3 x^2 $$
És így deriváljuk a $x^3$-at, és úgy általában minden más függvényt.
Ha bonyolultabb kifejezéssel van dolgunk, akkor itt szintén nagyon hasznos dolog az, hogyha sikerül egy kis omegafokú kifejezést szorzattá alakítani. Ugyanis ilyenkor a szorzat omegafoka nem változik. És nem mindig nyilvánvaló, hogy mikor is hagyhatóak el a dolgok. Például nézzük az $1 / x$ pici változását:
$$ \frac{1}{x + \d x} - \frac{1}{x} = \\ \frac{x}{x(x + \d x)} - \frac{x + \d x}{x (x + \d x)} = \\ \frac{x - (x + \d x)}{x(x + \d x)} = \\ \frac{x - x - \d x}{x(x + \d x)} = \\ \frac{- \d x}{x(x + \d x)} = \\ - \frac{1}{x(x + \d x)} \d x = \\ - \frac{1}{x^2} \d x $$
A kiinduló kifejezés omegafoka -1. Ezt a végén szorzattá alakítottuk, ahol az egyik tag $\d x$, aminek az omegafoka szükségszerűen -1 kell, hogy legyen. Így a másik szorzótag foka 0 lesz. Így belőle elhagyható minden 0-nál kisebb omegafokú tag.
Sok pici dolog sokra megy
Van, amikor nagyon sok pici dolgot kell összeadnunk, hogy megkapjuk a helyes eredményt. Vegyünk egy relative egyszerű példát. Van egy testünk, 1 m/s sebességgel megy, majd egyenletesen felgyorsul 11 m/s-ra úgy, hogy másodpercenként 1 m/s-mal nő a sebessége. Tehát 10 másodperc alatt gyorsul fel. A kérdés: mekkora utat tesz meg ez idő alatt? Nyilván van erre egy képlet, viszont mi nem képlettel számoljuk ezt ki, hanem máshogy. Elvégre azt a képletet is valakinek ki kellett találnia, és nagy valószínűséggel így vezették le.
Ha a sebesség nem változna, akkor könnyű lenne a számolás. Az 1 m/s azt jelenti, hogy 1 méter másodpercenként, így 10 másodperc alatt 10 métert tenne meg. De ha változik a sebesség, akkor nem ilyen egyszerű ez a dolog. A trükk azonban az, hogy pici időtartamokat kell nézni.
Kezdetben 1 m/s-mal megyünk, ilyenkor egy pici időtartam alatt megteszünk $1 \epsilon$ métert, vagyis egy picit többet ennél, mert közben növekedett a sebesség. Egy pici időtartam után már $1 + \epsilon$ sebességgel megyünk, ha egész végig ennyivel mennénk, akkor $(1 + \epsilon) \epsilon = \epsilon + \epsilon^2$ utat tennénk meg. De mivel erre a sebességre egy lassabb sebességről gyorsultunk fel, ezért a megtett út egy picit kisebb ennél. Ezért: $\epsilon < $ megtett út $ < \epsilon + \epsilon^2$. Szóval egy pici -2 omegafokú dolog lehet az eltérés legfeljebb, az meg elhanyagolhatóan pici. Így simán mondhatjuk azt, hogy kezdetben egy pici időtartam alatt csak $\epsilon$-t mentünk. És ez a nagy trükk.
Viszont, hogy megkapjuk, hogy 10 másodperc alatt mennyi utat mentünk. Sok pici dolgot kell összeadnunk. Először is ezt az időtartamot fel kell bontani sok pici időtartamra. Osszuk el mondjuk $10 \omega$ felé. Így ${10 \over 10 \omega} = \epsilon$ lesz a pici időtartam.
Az első pillanatban $1 \epsilon$-t megyünk, utána $(1 + \epsilon) \epsilon$, ezután $(1 + 2 \epsilon) \epsilon$-t. És így tovább aztán a dolog legvégén pedig: $(1 + 10 \omega \epsilon) \epsilon$-t, azaz $(1 + 10) \epsilon$-t. Ezeket össze kellene akkor adni:
$$ \sum_{i = 0}^{10 \omega} (1 + i \epsilon) \epsilon $$
A konstans szorzót kiemelhetjük:
$$ \epsilon \sum_{i = 0}^{10 \omega} (1 + i \epsilon) $$
A szumma az asszociativitás miatt bevihető:
$$ \epsilon \left( \sum_{i = 0}^{10 \omega} 1 + \sum_{i = 0}^{10 \omega} i \epsilon\right) $$
Aztán abból a belső szummából is kihozható a szorzó tag:
$$ \epsilon \left( \sum_{i = 0}^{10 \omega} 1 + \epsilon \sum_{i = 0}^{10 \omega} i \right) $$
A belső szummában az elsőben csak simán 1-eseket adunk össze jó sokszor, $10 \omega$-szor. Tehát ez az összes $10 \omega$ lesz. Ha szigorúak akarunk lenni, akkor pontosabban $10\omega + 1$. De amikor ilyen hatalmas dolgokkal számolunk, akkor a plusz, mínusz 1 elhanyagolható hozzá képest, így lehet egyszerűsíteni, és elhagyni. A második pedig lényegében 1 + 2 + 3 + 4 + ... összeg, egészen $10 \omega$-ig. Erre viszont van egy képlet. Ha valamilyen $n$-ig összeakarjuk adni a számokat, akkor a képet erre $n (n + 1) \over 2$. Azaz pl. ha össze akarjuk adni a számokat mondjuk 10-ig, csak annyit kell tennünk, hogy ${10 \cdot 11 \over 2} = 55$, és ennyi. Tehát esetünkben ez nem lesz más mint: $10 \omega (10 \omega + 1) \over 2$. Behelyettesítve:
$$ \epsilon \left(10 \omega + \epsilon {10 \omega (10 \omega + 1) \over 2}\right) $$
Ezt pedig akkor alakítgassuk egy kicsit:
$$ \epsilon \left(10 \omega + \epsilon {10 \omega (10 \omega + 1) \over 2}\right) = \\ \epsilon \left(10 \omega + \epsilon 5 \omega (10 \omega + 1) \right) = \\ \epsilon \left(10 \omega + 5 (10 \omega + 1) \right) = \\ \epsilon \left(10 \omega + 50 \omega + 5 \right) = \\ \epsilon \left(60 \omega + 5 \right) = \\ 60 \omega \epsilon + 5 \epsilon = 60 + 5 \epsilon = 60 $$
Azaz megkaptuk az eredményt, hogy pontosan 60 méter lesz az út.
Most pedig nézzük egy kicsit általánosabban ezt. A kezdősebesség legyen valamilyen $v_0$. A gyorsulás legyen $a$. Ekkor a sebesség egy valamilyen $t$ idő múlva $v_0 + a t$. Mennyi lesz a megtett út ez alatt a $t$ idő alatt? Osszuk fel ezt az időt $t \omega$ darab részre. Így a ${t \over t \omega} = \epsilon$ lesz a pici idő, amit nézni kell. Az első pillanatban $v_0 \epsilon$ lesz az út. A második pillanatban $ (v_0 + a \epsilon ) \epsilon$. A harmadikban $ (v_0 + 2 a \epsilon) \epsilon$. Az utolsóban $(v_0 + t \omega a \epsilon) \epsilon = (v_ 0 + a t) \epsilon$. Össze kellene ezeket adni:
$$ \sum_{i = 0}^{t \omega} \left( v_0 + i a \epsilon \right) \epsilon $$
És az előzőhöz hasonló alakításokat végezzük el rajta:
$$ \epsilon \sum_{i = 0}^{t \omega} \left( v_0 + i a \epsilon \right) = \\ \epsilon \left( \sum_{i = 0}^{t \omega} v_0 + a \epsilon \sum_{i = 0}^{t \omega} i \right) = \\ \epsilon \left( v_0 t \omega + a \epsilon {t \omega \left( t \omega + 1\right) \over 2} \right) = \\ \epsilon \left( v_0 t \omega + {a \over 2} \epsilon t \omega \left( t \omega + 1\right) \right) = \\ \epsilon \left( v_0 t \omega + {a \over 2} t \left( t \omega + 1\right) \right) = \\ \epsilon \left( v_0 t \omega + {a t^2 \omega \over 2} + {at \over 2} \right) = \\ v_0 t + {a t^2\over 2} + {at \over 2} \epsilon = \\ v_0 t + {a t^2\over 2} $$
Azaz megkaptuk azt a képletet, amivel egy gyorsuló testek által megtett utat számolhatjuk ki.
De legyünk még általánosabbak. Van egy tetszőleges képletünk, amely függ egy $x$-től, legyen ez $f(x)$. És ezt összegezzük $x_0$ és $x_1$ között. Az értéktartomány hossza $x_1 - x_0$. Ezt kell sok pici darabra osztani. Osszuk fel ezt $x_1 - x_0 \over \omega$ darabkára. Egy darabka hossza: ${x_1 - x_0 \over \left( x_1 - x_0\right) \omega} = \epsilon$. Az összeg első tagja: $f(x_0) \epsilon$. A második tagja: $f(x_0 + \epsilon) \epsilon$. A harmadik tagja: $f(x_0 + 2 \epsilon) \epsilon$. S a többi. Az utolsó tagja: $f(x_0 + \left( x_1 - x_0\right) \omega \epsilon) \epsilon = f(x_1) \epsilon$. Az összeg pedig:
$$ \sum_{i = 0}^{(x_1 - x_0)\omega} f(x_0 + i \epsilon) \epsilon $$
Mivel ez az $\epsilon$ tulajdonképpen $x$ változása, ahogy haladunk az összegzés során, ezért hívhatnánk $\d x$-nek, ahogy kell:
$$ \sum_{i = 0}^{(x_1 - x_0)\omega} f(x_0 + i \d x) \d x $$
És mivel ezt az összegzést mindig így csináljuk, van neki egy speciálisan erre a célra kitalált jelölése:
$$ \int_{x_0}^{x_1} f(x) \d x $$
És pontosan ez az, amit akkor csinálunk, amikor elvégezzük az integrálást.
Egyéb megjegyzések
Mennyi az omegafoka a 0-nak? A nulla kisebb, mint bármilyen pici dolog vagy azoknak bármekkora hatványa. Így annak az omegafoka gyakorlatilag mínusz végtelen. De nem is érdemes ennek az omegafokáról beszélni, mert a nulla alapból egy olyan dolog, amit összegben és különbségben amúgy is mindig elhagyunk, és így teszünk ezután is. Osztani természetesen továbbra sem lehet vele.
Szintén felmerülhet az a kérdés, hogy mi van akkor, hogyha egy számot kitartóan szorozgatunk mondjuk $10^{10}$-nel, előbb-utóbb eléri majd az általunk mondott $10^{1000}$-t nem? A rövid válasz erre az, hogyha ilyen dolgot lehetségesnek tartunk, akkor az $\omega$-t nem választottuk elég nagynak. Ha matematikailag szigorúak akarunk lenni, akkor $\omega$-t úgy definiáljuk, hogy az egy olyan dolog, amely nagyobb bármelyik pozitív szám. Ebből következően az $\epsilon = 1 / \omega$ pedig kisebb lesz, mint bármilyen pozitív szám, de még mindig nagyobb, mint nulla. És innentől kezdve a dolgokat $\omega$-t tartalmazó polinomokként lehet leírni, ennek a halmazát pedig úgy nevezik, hogy hipervalós számok jele: ${}^*\mathbb{R}$.
