9. Lendület megmaradás törvénye

Newton 3. törvénye

$ \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}} $ Az előző részben megtárgyaltuk, hogy hogyan lehet a mozgás törvényeinek segítségével szimulációt készíteni, azaz numerikusan megoldani a mozgás egyenleteit. Viszont azt is láttuk, hogy néha ezek az egyenletek megoldhatók analitikusan is. Lásd a rúgó mozgása egy egyszerű koszinusz függvénnyel is leírható.

Nincs mindig analitikus megoldás. Ha van a Nap, és körülötte a gravitáció miatt kering egyetlen egy bolygó, akkor annak a bolygónak pályája a Nap körül nagyon pontosan kiszámolható: ellipszis. És ez a leírás pontos még akkor is, amikor egy nagyon domináns központi tömegről van szó. Ilyen pl. a Naprendszerünk, ahol a bolygók egymásra hatása mérhető, de gyakorlatilag elhanyagolható. A Nap tömege kb. 300000-szerese a Földének és ezerszerese a Jupiterének. Vagy szintén hasonló a Jupiter és a holdjai, valamint a Szaturnusz és a holdjai. A bolygó tömege ott is sokkal nagyobb, mint az egyes holdak egymásra ható ereje, ezért ott is feltételezhető, hogy az egyes holdak pályái ellipszisek.

Viszont, amint 3 közel hasonló nagyságrendű testről van szó, a rendszer viselkedése már nem határozható meg analitikusan. Csak szimulációval. De a szimuláció sem teljesen pontos, csak közelíti a pontos eredményt. Éppen ezért lenne problémás, hogyha 2 Nap vagy 2 Hold lenne az égen. Képtelenség lenne megjósolni, hogy millió vagy milliárd évek múlva milyen állapotban lesz a rendszer. A legkisebb hiba a szimulációban már más eredményt adna a hosszú távon. Az ilyen rendszerekre szokták azt mondani, hogy kaotikus. Ilyen rendszer az időjárás is. Képtelenség pontosan előrejelezni, hogy pontosan hol fog eleredni az eső. Viszont az már tény, hogy évről évre egyre jobbak leszünk ebben.

De vannak olyan esetek is, amikor a rendszer szimulációja gyakorlatilag is képtelenség. Pl. egy tartályban milliárd milliárd ($10^{18}$) db gázmolekula van, gyakorlatilag lehetetlen az összes molekula mozgását pontosan nyomon követni.

Ha a szimuláció sem lehetséges, akkor vissza kell nyúlnunk olyan alapvető dolgokhoz, mint az energiamegmaradás elve, amivel a 3. részben foglalkoztunk. Illetve, amivel ebben a részben fogunk foglalkozni az a lendületmegmaradás törvénye.

Annak idején Newton 2 fontos dolgot írt le. Az egyik volt az általános tömegvonzás törvénye, amellyel a bolygók mozgását lehet leírni. A másik pedig a hatás-ellenhatás törvénye.

A hatás-ellenhatás törvénye arról szól, hogy minden erővel szemben fellép egy vele azonos nagyságú, de ellentétes irányú ellenerő is. Az egyik az egyik testre hat, a másik a másikra. Tehát ha állunk a padlón, akkor mi nyomjuk a padlót lefelé, de a padló is azonos erővel nyom minket felfelé. Ha nyomjuk az ajtót, az is visszanyom. Ha összekötünk két azonos típusú rúgót, és egyszerre húzzuk szét őket, akkor mind a két rúgó pontosan azonos mértékben nyúlik meg, mert a két erő, amely szét húzza őket pontosan azonos.

A lendületmegmaradás törvénye

Mi is következik a hatás-ellenhatás törvényéből? Nézzük meg a matematika nyelvén. Van 2 testünk, nevezzük A-nak és B-nek. Ezek hatnak egymásra valamilyen erővel. A B az A-ra hasson mondjuk $\v{F_A}$ erővel. Az A a B-re a hatás-ellenhatás törvénye szerint az ellenkező irányú és nagyságú $\v{F_B}$ erővel. Így köztük igaz lesz az összefüggés.

$$ \v{F_A} = -\v{F_B} $$

Emlékezzünk vissza, hogy mi is az erő: a lendület változásának a gyorsasága. Ezt matematikailag ugye úgy fejezzük ki, hogy a lendület pici változását elosztjuk az idő pici változásával. Legyen $t$ az idő, ahogy szoktuk. $\v{p_A}$ az A lendülete, $\v{p_B}$ a B lendülete.

Így az egyenletünk behelyettesítés után így néz majd ki:

$$ \frac{\d \v{p_A}}{\d t} = -\frac{\d \v{p_B}}{\d t} $$

A jobboldalt kivonjuk az egyenletből:

$$ \frac{\d \v{p_A}}{\d t} + \frac{\d \v{p_B}}{\d t} = \v{0} $$

A $\v{0}$ az ún. nullvektor, ez egy olyan vektor, amelynek az összes eleme 0. Akkor még vonjuk össze a két törtet közös nevező alá:

$$ \frac{\d \v{p_A} + \d \v{p_B}}{\d t} = \v{0} $$

Emlékezzünk vissza az azonosságra az összegek differenciájáról:

$$ \frac{\d \left( \v{p_A} + \v{p_B} \right) }{\d t} = \v{0} $$

Mit is jelent ez? A kifejezés önmagában azt jelenti, hogy a $\v{p_A} + \v{p_B}$ kifejezés az időben egyáltalán nem változik, hiszen a változásának az üteme pontosan 0. Azaz a két test lendületének az összege nem fog változni, hogyha a hatás-ellenhatás törvénye igaz. Vagy úgy is mondhatnánk, hogy az összlendület megmarad, nem lesz se kevesebb, se több belőle az egyik irányban sem.

Mivel bármely két test között ébredő erővel szemben fellép az ellenerő. Ezért el lehet mondani, hogy a világegyetem szintjén a lendület megmarad. Ez a lendület megmaradás törvénye.

Mivel az összlendület egy vektor és nem változik, ez azt is jelenti, hogy egyik komponense sem változik, az összlendület minden irányban állandó marad. Ez lehetővé teszi, hogy egyszerű rendszerekben gondolkodjunk, amelyek csak 1 vonalban mozoghatnak.

Azonban gyakran nem az egész világgal foglalkozunk, hanem csak egy kisebb részével a dolgoknak: pl. csak azokkal a tárgyakkal, amelyek a szobában vannak. Ekkor előfordulhat, hogy a szobában lévő tárgyra valami külső erő hat, de azzal nem foglalkozunk, hogy az ezzel ellenkező ellenerő hova és mire hat. Na ilyenkor nem marad meg az összlendület, mert a külső erőhöz tartozó ellenerőt nem vettük számításba. Tipikusan ilyen külső erő a gravitációs erő, amely húzza a testeket lefelé, viszont általában azzal nem számolunk, hogy ezzel szemben egy ellenerő is ébred a Földet húzza felfelé miközben a tárgy esik. Ha a rendszerünk csak egy szabadon eső tárgyból áll, akkor könnyű látni, hogy annak a lendülete folyamatosan növekszik, ahogy gyorsul, nem marad állandó. De csak azért, mert húzza a gravitáció. Úgy általában elmondható, hogy egy rendszer lendületváltozásának a gyorsasága megegyezik a rendszerre ható külső erőknek az összegével. Hiszen a velük szemben ébredő erőt figyelmen kívül hagytuk.

Ütközések

A lendületmegmaradás törvényét fel lehet használni arra, hogy levezessük, hogyha két test összeütközik, akkor hogyan fog változni a sebességük. Az ütközés az egyik legalapvetőbb fizikai folyamat, hiszen a részecskék, az atomok és sok más dolog, ami körülvesz minket, úgy reagál egymással, hogy ütköznek, így fontos megérteni, hogy hogyan is működik ez.

Azt korábban írtam, hogy a sebességet a térben 3 merőleges irányú komponensre lehet bontani. És az erőket is fel lehet bontani 3 egymásra merőleges irányú komponensre. És azt is, hogy az erők egy-egy komponensre hatnak csak. Nincsenek áthallások. Na most ez nagyban megkönnyíti, hogy leírjuk az ütközéseket.

Ha egy tárgyat jobb oldalról megüt egy másik tárgy, akkor azt egy balra ható erőhatás éri majd. Ez az erőhatás nem fogja befolyásolni a felfelé, illetve az előre ható sebességét. Így nyugodtan tanulmányozhatjuk az ütközéseket egyetlen 1 dimenzióban.

Képzeljük el, hogy van két tárgyunk, amely egy légpárnás sínben mozoghat gyakorlatilag súrlódás nélkül. Mozogni lehet jobbra vagy balra, a pozitív sebesség jobbra való mozgást jelent, a negatív balra mozgást jelent.

Legyen két testünk. Az 1-es test tömege legyen $m_1$. A sebessége legyen $v_1$. A 2-es test tömege legyen $m_2$. A sebessége legyen $v_2$.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, a rugalmatlan ütközéssel. Ekkor az történik, hogy amikor a két test összeütközik, össze is ragad, és egy tömegként mozog tovább. Tipikusan ilyen anyag a gyurma. Ha két gyurmacsomót összecsapunk, akkor nem fognak lepattanni egymásról. Velük jól lehet szimulálni a rugalmatlan ütközést.

A rendszer összlendülete: $m_1 v_1 + m_2 v_2$. Amikor a két test összeragad, akkor a közös tömegük $m_1 + m_2$ lesz. És lesz egy közös, valamilyen, $u$ sebessége ennek tömegnek. Tehát az egyenlet, a lendület megmaradásának törvénye alapján:

$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u $$

Ezt pedig egy osztással meg lehet oldani:

$$ u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} $$

Magyarán a közös sebesség, szó szerint, a két sebesség súlyozott átlaga lesz. Rugalmatlan ütközés esetén ilyen egyszerűen kijön ez.

Tehát ha van 2 db fél kilós gyurmatömbünk, és 1 km/h-val összeütjük őket. Tehát az egyik sebessége 1 km/h jobbra, a másiknak -1 km/h jobbra (tehát balra megy). A lendülete az egyiknek 0,5, a másiknak -0,5. A kettő összege 0. Tehát ha összeütjük őket és összeragadnak, akkor a közös tömb egyszerűen megáll. Vagy nézzünk egy másik példát: ha leejtünk egy gyurmatömböt, akkor az nem pattan vissza, hanem kilapul és megáll a földön.

Lendület és energia

Korábban már volt szó arról, hogy az energia megmarad (a 3. részben). Ott volt szó arról is, hogy a mozgási energia egyenesen arányos a tömeggel és a sebesség nagyságának négyzetével. Képlete: $\frac{m v^2}{2}$. Na most az előző példában a legegyszerűbb ütközési esetet néztük, amikor összeragad a két test. Ilyenkor a mozgási energia egy része a gyurma deformálására, hőtermelésre és hangkeltésre fordítódik. Ezért rugalmatlan ütközés során a mozgási energia egy része átalakult, az ütközés után kisebb lesz. És egyben ez a rugalmatlan ütközés az az eset, amikor a lehető legtöbb mozgási energia alakul más fajta energiává (leginkább hővé). Ki lehet pl. próbálni azt, hogy egy hőkamerával nézünk egy vasfelületet, majd jó erősen rácsapunk kalapáccsal: a becsapódás helye melegebb lesz.

A másik véglet a teljesen rugalmas ütközés melynek során a mozgási energia teljes egészében megmarad, nem alakul hővé vagy hasonló. Ilyenkor a két test lepattan egymásról.

Amikor két test összeütközik, akkor az ütközés során rugalmasan deformálódnak. Ekkor a kinetikus energia rugalmas helyzeti energiává alakul át. Pontosan úgy, mint a rugalmatlan ütközéskor. Viszont ez a rugalmas energia rövidesen visszarúg és szétrúgja a két testet és visszaalakul kinetikus energiává.

A dolog úgy indul, mint a rugalmatlan ütközésnél. Először a két test összeütközik és benyomódik. Ekkor egy pillanatig a közös sebesség az előző részből már ismert $u$. Tehát az 1-es test lendülete megváltozott $m_1 v_1$-ről $m_1 u$-ra. A változás mértéke $m_1 u - m_1 v_1$. Jelöljük ezt $I_1$-gyel. A 2-es testnél hasonlóan: $m_2 u - m_2 v_2$. Jelöljük ezt $I_2$-vel.

Az ilyen $I$-vel jelölt hirtelen lendületváltozást úgy nevezik, hogy impulzus. Vagy magyarosan erőlökés. A lendületmegmaradás miatt amennyit változik az egyik test lendülete, azzal ellenkezőleg változik majd a másiké. Tehát $I_2 = -I_1$.

Na most az $I$-k a rugalmatlan ütközéshez tartozó erőlökések. Ha tökéletesen rugalmas ütközésről beszélünk, akkor a rugalmas energia felszabadulásakor és két test szétlökődésekor még egyszer megkapja ezt az impulzust a két test, hogy helyreálljon a mozgási energia.

Az 1-es test lendülete $m_1 v_1$-ről indul, a dupla erőlökés után a lendülete:

$$ m_1 v_1 + 2 \left( m_1 u - m_1 v_1 \right) = 2 m_1 u - m_1 v_1 = m_1 \left( 2 u - v_1\right) $$

Hasonlóképpen a 2-es test lendülete $m_2 \left( 2 u - v_2 \right)$ lesz. A szorzatok jobboldali, zárójeles, tagja lesz az ütközés utáni sebesség.

És valóban megmarad-e az energia? Ellenőrizzük le!

A kiinduló helyzetben a rendszerben lévő mozgási energia mennyisége ennyi:

$$ \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} $$

Az ütközés után pedig ennyi:

$$ \frac{m_1 \left(2 u - v_1 \right)^2}{2} + \frac{m_2 \left(2 u - v_2 \right)^2}{2} $$

Be kellene látnunk, hogy ez a kettő azonos. Tehát meg kell nézni, hogyha egyenlővé tesszük ezt a kettőt, akkor az mindig feltétlenül egyenlő lesz-e?

$$ \frac{m_1 \left(2 u - v_1 \right)^2}{2} + \frac{m_2 \left(2 u - v_2 \right)^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} $$

Kezdjük azzal, hogy beszorzunk kettővel, hogy eltüntessük az idegesítő nevezőt:

$$ m_1 \left(2 u - v_1 \right)^2 + m_2 \left(2 u - v_2 \right)^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 $$

Fejtsük ki a négyzetet:

$$ m_1 \left(4 u^2 + v_1^2 - 4 u v_1 \right) + m_2 \left(4 u^2 + v_2^2 - 4 u v_2 \right) = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 $$

Bontsunk zárójelet:

$$ 4 m_1 u^2 + m_1 v_1^2 - 4 u m_1 v_1 + 4 m_2 u^2 + m_2 v_2^2 - 4 m_2 u v_2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 $$

Rendezzük a tagokat $u$ szerint, és emeljük ki az $u$-s tényezőket:

$$ u^2( 4 m_1 + 4 m_2) - u (4 m_1 v_1 + 4 m_2 v_2) + m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 $$

Emeljünk még ki 4-et, amelyik tagból lehet:

$$ 4 u^2( m_1 + m_2) - 4 u (m_1 v_1 + m_2 v_2) + m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 $$

Tegyünk egy kicsit rendet a kifejezésben: Legyen: $M = m_1 + m_2$. Legyen: $P = m_1 v_1 + m_2 v_2$. Legyen: $E = m_1 v_1^2+ m_2 v_2^2$. Aztán ezeket helyettesítjük be, rögtön rövidebb lesz az egész:

$$ 4 u^2 M - 4 u P + E = E $$

Vegyük észre, hogy valójában $u = P / M$. Helyettesítsük be:

$$ 4 \frac{P^2}{M^2} M - 4 \frac{P}{M} P + E = E $$

Végezzük el a szorzást a törtekben:

$$ 4 \frac{P^2}{M} - 4 \frac{P^2}{M} + E = E $$

A $P$-s és az $M$-es tag láthatóan kiesik, így marad:

$$ E = E $$

Azaz az egyenlőség egy azonosság, amelynek a két oldala mindig ugyanaz. Tehát beláttuk a mozgási energia valóban megmarad.

A tökéletesen rugalmas ütközést talán úgy lehet legjobban közelíteni a mindennapi életben, hogy egy légpárnás sínen 2 rúdmágnest lökünk egymás felé, úgy, hogy az a végük legyen egymással szemben, amelyek taszítják egymást; miközben nincs a közelben semmilyen fém vagy hasonló, ami lassítaná. Azonban a valóságban az ütközés soha sem tökéletesen rugalmatlan vagy rugalmas. Ha valaminek az ütközése tökéletesen rugalmas lenne, akkor az a dolog teljesen hangtalanul és megállás nélkül pattogna az idők végezetéig. Nyilván a legrugalmasabb gumigolyó sem képes erre.

Az ütközéskor felhalmozódó energia egy része mindig elveszik, hővé alakul. Így soha sem teljes visszarúgás ütközés után. Legyen $e$ az a szám, amely megadja, hogy mekkora lesz a visszapattanás. Ha $e$ 0, akkor az ütközés tökéletesen rugalmatlan; ha 1, akkor tökéletesen rugalmas. A kiinduló lendület: $m_1 v_1$. Ütközés után, kap egy erőlökést: $m_1 v_1 + (m_1 u - m_1 v_1)$, úgy mint ha rugalmatlan lenne az ütközés. Majd a felhalmozódott energia felszabadul, és kap még egy $(m_1 u - m_1 v_1)e$ erőlökést. Tehát a végső lendület:

$$ m_1 v_1 + (m_1 u - m_1 v_1) + (m_1 u - m_1 v_1)e = m_1 v_1 + (1 + e)(m_1 u - m_1 v_1) $$

Némi egyszerűsítés után pedig a végső képlet az ütközésre $m_1 ((1 + e)u - e v_1)$. A 2-esé pedig szimmetrikusan: $m_2 ((1+e)u - e v_2)$.

A gázokban az atomok ütközése lényegében tökéletesen rugalmasnak tekinthető. Ott nem igazán tud az energia hővé alakulni, hiszen a hő definíció szerint az atomok mozgásából jön. Egy erősebb ütközés talán magasabb pályára tehet egy elektront, amely kibocsát egy fotont, amikor visszaugrik egy alacsonyabb pályára. Így ott is elveszhet a mozgási energia egy része. De ehhez nagy sebességű ütközés kellene, a molekulák kis sebességű ütközésénél nem kell ettől tartani.

A lendületmegmaradás törvénye lehetővé teszi, hogy bonyolult folyamatokat magyarázzunk el egyszerűbben. Pl. egy rakétából sok milliárd gázmolekula jön ki, miközben gyorsul. Nyilván nincs arra remény, hogy az összes gázmolekulát szimuláljuk. De ha pusztán arra gondolunk, hogy a fúvókából egyszerűen tömeg hagyja el a rakétát, úgy már viszonylag egyszerűbben leírható a rakéta mozgása.

És végül jöjjön egy szimuláció a tökéletesen rugalmas ütközésekről. Kattints az alábbi képre a szimuláció elindításához. Ebben a szimulációban különböző tömegű golyók vannak. A tömeget véletlenszerűen választottam, minden lapfrissítéskor más lesz a kezdeti állapot. De garantáltam, hogy legyen benne legalább 5 nagyon kicsi tömegű test és 1 nagyon nagy tömegű is. A testek sebessége kezdetben azonos, csak az irányuk különbözik. Igaz a szimuláció kezdetén jó pár golyó egymásba van ágyazódva, majd szét mennek előbb vagy utóbb, és többé nem mennek bele egymásba. Habár a szimuláció kezdetén minden testnek teljesen azonos a sebessége. Előbb vagy utóbb a kisebb testek fognak a leggyorsabban cikázni. Ez a szimuláció lényegében egy edénybe zárt gázt szimulál, amelyben minden részecske energiája előbb vagy utóbb azonos energiaeloszlású lesz. Ennek a következménye az, hogy kisebb testek a kisebb tömegük miatt a nagyobb sebességükkel kompenzálnak, hogy tartsák ezt az eloszlást. Míg a nagy tömegű golyók szinte megállnak.

Lendület a modern fizikában

A 20. század elején Einstein jött a relativitáselméletével. Ez sok vizet nem zavart. A lendület továbbra is megmarad, csak a képlete lett egy kicsit más, majd erről is lesz szó majd az idejében.

Az energia csak akkor marad meg, hogyha elfogadjuk, hogy több formában is létezhet. Például mozgási energia, hőenergia, atomenergia, stb. Jogos lehet a kérdés, hogy vajon a lendületnek is van más formája? Pl. értelmezhető-e olyan dolog, hogy „hőlendület”? Az energia csak egy szám. Nincsen neki iránya. Viszont a lendületnek van. Ha egy rendszerben a lendületek összege nem nulla, akkor az a rendszer valamerre mindenképpen sodródik. Amíg az energiát el lehet rejteni (pl. gyakran nem látszik valamin, hogy forró vagy hogy áram alatt van), a lendületet nem lehet elrejteni, aminek lendülete van, az mozog valamerre.

Na jó, azért a lendületet is lehetséges egy rövid időre eldugni. A fényt alkotó részecskéknek, a fotonoknak van lendületük, ha egy rendszer kilő egy fotont, az láthatatlanul halad és viszi a lendületet, amíg bele nem ütközik valamibe, és át nem adja neki.

Később a kvantummechanikában még jobban meg lettek tekerve a dolgok. Ott a lendület és az energia a hullámfüggvény tulajdonsága. Majd később visszatérünk erre.

Ha hozzá akarsz szólni ehhez a poszthoz, oszd meg a közösségi médiában!

Nemrég frissült:

RSS